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其他人或许没法跟上陈末的节奏，又因为前面的过程已经被擦掉，到后面更是完全看不懂陈末在写什么。
但郑明阳能够看懂，已经研究这个证明好几天，本身也是这个领域专家的他，当然能够看懂陈末的证明。
但正因为能够看懂，当看到陈末一步步推导，即将毕竟那个最终答案时，郑明阳心中也开始翻江倒海。
他本以为陈末只是运气好，碰巧写出了一个形式。
没想到这个高一学生当场就给出了一个完整的丶严密的证明，而且证明思路极其巧妙，用模2q的高斯和来提升指数，再利用奇偶拆分和对偶性，将未知的和与已知的高斯和联系起来。
他做了二十年解析数论，高斯和的理论烂熟于心，但从未想过用这种升模技巧来估计线性指数和。
这个技巧虽然简单，但需要极强的数论直觉和对特徵结构的深刻理解。
陈末写得飞快，嘴里念念有词。
副校长赵振中悄悄凑到周知耳边：「老周，他说的特徵是什么？是性格特徵吗？」
周知嘴角抽搐了一下：「赵校，是Dirichlet特徵……一种数论函数。」
「哦。」
赵振中点点头，然后又问，「那模2q是什么意思？」
周知沉默了两秒，选择说实话：「老赵，要不您先别问了，等回去我再给您解释。」
赵振中识趣地闭上了嘴。
另一边，姜帆正在手机上疯狂搜索高斯和。
然而，搜索结果让他更加迷茫，维基百科上的公式比他想像中的还复杂。
胡鑫倒是相对镇定，因为他早就放弃了理解。
他在想的是，这个学生还是我班上的那个陈末吗？
他想到了陈末每节课下课问他的问题，再看看眼前的白板，「所以，我何德何能，能给这种妖孽解答问题？」
「所以T=ψ(2)S+ψ(2)S{共轭}。」
「这是一个实数，因为它是共轭对称的。」
「而|T|=√2q是已知的，因为ψ是二次特徵，高斯和的模长是根号下模数。」
「设ψ(2)=±1，那么T=±(S+S{共轭})或者T=±(S?S{共轭})，取决于具体符号。」
「但不管哪种情况，都有︱S︱=︱T︱/2?某个因子……」
陈末快速计算，最后在白板上写下，
︱S︱=√q！
办公室里安静了三秒钟。
然后，郑明阳猛地站了起来。
「这……」他的声音有些颤抖。
虽然在看到陈末进入状态后，他就有所预料，但当陈末真的给出了完整的证明后，他还是有些不敢相信自己的眼睛。
怔怔的盯着白板看了好久，郑明阳才回过头来看向陈末，「你是怎么想到用2q的？」
陈末也没想到最后自己竟然真的证明了出来，就像当时他给白芷讲题一样，一开始只是有个思路，但随着一步步推导，结论就像是水到渠成一般出来了。
数学，好像也没那么难嘛！
「因为e^{πik/q}=e^{2πik/(2q)}，所以我想把问题转化成模2q的高斯和，然后我发现，模2q的二次特徵可以分解……」
「不，我不是问这个。」郑明阳打断了他，「我是问，你怎么想到奇偶拆分之后，奇数项和偶数项会互为共轭？这个对称性，我做了二十年数论，从来没有从这个角度想过。」
陈末想了想，说：「其实就是……把求和区间[1，2q]映射到自身，用k?2q?k这个变换，这个变换把奇数变成奇数，偶数变成偶数，而且把指数变成共轭。
然后我注意到，ψ(2q?k)=ψ(?k)=ψ(?1)ψ(k)。只要ψ(?1)=1，就能让奇数项和偶数项完美配对。」
「就这么简单？」郑明阳的声音有些发涩。
「就这么简单。」陈末点头，「只是……要选对ψ的构造，让ψ(?1)=1。」
郑明阳缓缓坐回椅子上，目光呆滞地看着白板。
他想起自己这两天两夜的挣扎，翻阅了几十篇文献，尝试了围道积分丶Poisson求和丶L函数的渐近展开……每一种方法都让他陷入更深的泥潭。
